Grandezas proporcionais

Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

As grandezas proporcionais têm seus valores aumentados ou diminuídos em uma relação que pode ser classificada como proporcionalidade direta ou inversa.
O que são grandezas proporcionais?

Uma grandeza é definida como algo que pode ser medido ou calculado, seja velocidade, área ou volume de um material, e é útil para comparar com outras medidas, muitas vezes de mesma unidade, representando uma razão.

A proporção é uma relação de igualdade entre razões e, assim, apresenta a comparação de duas grandezas em diferentes situações.

reto a sobre reto b igual a reto c sobre reto d

A igualdade entre a, b, c e d é lida da seguinte forma: a está para b, assim como c está para d.

A relação entre as grandezas podem ocorrer de maneira diretamente ou inversamente proporcional.
Como funcionam as grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Quando a variação de uma grandeza faz com que a outra varie na mesma proporção, temos uma proporcionalidade direta. A proporcionalidade inversa é observada quando a mudança em uma grandeza produz uma alteração oposta na outra.
Proporcionalidade direta

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação da outra na mesma proporção, ou seja, duplicando uma delas, a outra também duplica; reduzindo pela metade, a outra também reduz na mesma quantidade… e assim por diante.

Graficamente a variação diretamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma reta que passa pela origem, pois temos y = k.x, sendo k uma constante.
gráfico de grandezas diretamente proporcionais
Gráfico de y proporcional a x
Exemplo de proporcionalidade direta

Uma impressora, por exemplo, tem a capacidade de imprimir 10 páginas por minuto. Se dobrarmos o tempo, dobramos a quantidade de páginas impressas. Da mesma forma, se pararmos a impressora na metade de um minuto, teremos a metade do número de impressões esperadas.

Agora, veremos com números a relação entre as duas grandezas.

Em uma gráfica são feitas impressões de livros escolares. Em 2 horas, são realizadas 40 impressões. Em 3 horas, a mesma máquina produz mais 60 impressões, em 4 horas, 80 impressões, e, em 5 horas, 100 impressões.
Tempo (horas) 2 3 4 5
Impressões (número) 40 60 80 100

A constante de proporcionalidade entre as grandezas é encontrada pela razão entre o tempo de trabalho da máquina e o número de cópias realizadas.

tabela linha com célula com 2 sobre 40 fim da célula igual a célula com 3 sobre 60 fim da célula igual a célula com 4 sobre 80 fim da célula igual a fim da tabela tabela linha com célula com 5 sobre 100 fim da célula igual a célula com 1 sobre 20 fim da célula fim da tabela

O quociente dessa sequência (1/20) recebe o nome de constante de proporcionalidade (k).

O tempo de trabalho (2, 3, 4 e 5) é diretamente proporcional ao número de cópias (40, 60, 80 e 100), pois ao dobrar o tempo de trabalho o número de cópias também dobra.
Cálculo de grandeza diretamente proporcional com regra de três.

Para calcular um valor desconhecido entre grandezas diretamente proporcionais, podemos usar a Regra de Três.

No exemplo anterior da gráfica, em 5 horas, quantos livros serão impressos?

2 horas imprimem 40 livros
5 horas imprimem x livros

↑ mais horas de trabalho = ↑ mais livros impressos (grandezas diretas)

2 sobre 40 igual a 5 sobre x

Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:

2. x igual a 5.40 2 x igual a 200 x igual a 200 sobre 2 x igual a 100

Como havíamos visto na tabela, em 5 h, 100 livros são impressos.
Proporcionalidade inversa

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, dobrando uma grandeza, a correspondente reduz pela metade; triplicando uma grandeza, a outra reduz para terça parte… e assim por diante.

Graficamente a variação inversamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma hipérbole, pois temos y = k/x, sendo k uma constante.
gráfico de grandezas inversamente proporcionais
Gráfico de y inversamente proporcional a x
Exemplo de proporção inversa

Quando se aumenta a velocidade, o tempo para concluir um percurso é menor. Da mesma forma, ao diminuir a velocidade mais tempo será necessário para fazer o mesmo trajeto.

Confira a seguir uma aplicação de relação entre essas grandezas.

João decidiu contar o tempo que levava indo de casa à escola de bicicleta com diferentes velocidades. Observe a sequência registrada.
Tempo (min) 2 4 5 1
Velocidade (m/s) 30 15 12 60

Podemos fazer a seguinte relação com os números das sequências:

tabela linha com célula com 2 espaço. espaço 30 fim da célula igual a célula com 4 espaço. espaço 15 fim da célula igual a célula com 5 espaço. espaço 12 fim da célula igual a fim da tabela tabela linha com célula com 1 espaço. espaço 60 fim da célula igual a 60 fim da tabela

Escrevendo como igualdade de razões, temos:

tabela linha com célula com numerador 2 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre 30 fim do estilo fim da fração fim da célula igual a célula com numerador 4 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre 15 fim do estilo fim da fração fim da célula igual a célula com numerador 5 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre 12 fim do estilo fim da fração fim da célula igual a fim da tabela tabela linha com célula com numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre 60 fim do estilo fim da fração fim da célula fim da tabela

Nesse exemplo, a sequência de tempo (2, 4, 5 e 1) é inversamente proporcional à velocidade média pedalando (30, 15, 12 e 60) e a constante de proporcionalidade (k) entre essas grandezas é 60.

Observe que quando um número de uma sequência dobra, o número da sequência correspondente reduz pela metade.
Cálculo de grandeza inversamente proporcional com regra de três.

No exemplo do João indo de casa à escola de bicicleta.

↑ maior velocidade = ↓ menor tempo (grandezas inversas)

Andando a 30 m/s João demora 2 min para chegar à escola. Se andar a 12 m/s, quanto tempo ele levará para completar o percurso?

Escrevendo as proporções

numerador 30 espaço reto m dividido por reto s sobre denominador 12 espaço reto m dividido por reto s fim da fração igual a numerador 2 espaço min sobre denominador reto x fim da fração

Como se trata de grandezas inversas, devemos inverter uma razão.

12 sobre 30 igual a 2 sobre reto x

Utilizando a propriedade fundamental das proporções, multiplicamos cruzado.

 

Como vimos na tabela do exemplo, se João diminuir a velocidade para 12 m/s, ele aumentará o tempo para 5 min.

Veja também: Proporcionalidade
Exercícios comentados sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Questão 1

Classifique as grandezas relacionadas a seguir em diretamente ou inversamente proporcional.

a) Consumo de combustível e quilômetros percorridos por um veículo.
b) Quantidade de tijolos e área de uma parede.
c) Desconto dado em um produto e o valor final pago.
d) Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher uma piscina.
Questão 2

Pedro tem uma piscina em sua casa que mede 6 m de comprimento e comporta 30 000 litros de água. Seu irmão Antônio decide também construir uma piscina com a mesma largura e profundidade, mas com 8 m de comprimento. Quantos litros de água cabem na piscina de Antônio?

a) 10 000 L
b) 20 000 L
c) 30 000 L
d) 40 000 L

Veja também: Razão e Proporção
Questão 3

Em uma lanchonete, seu Alcides prepara suco de morango todos os dias. Em 10 minutos e utilizando 4 liquidificadores, a lanchonete consegue preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o tempo de preparo, seu Alcides dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os sucos ficassem prontos com os 8 liquidificadores funcionando?

a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min